MODUL 1 Kegiatan Belajar 1

BILANGAN BULAT

Uraian

            Pembahasan tentang bilangan bulat (integers) tidak bisa dipisahkan dari uraian tantang bilangan asli (natural numbers) dan bilangan cacah (whole members) karena kreasi tentang bilangan-bilangan ini merupakan proses sosial dan budaya yang berlangsung berurutan dalam waktu ribuan tahun.

            Konsep tentang bilangan dan cara mencacah (menghitung, counting) berkembang selama sekitar 15.000 tahun, mulai dari zaman prasejarah (poleolithic, Old Stone Age) sampai dengan zaman sejarah (sekitar tahun 400 S.M.). Dalam periode atau zaman ini, mereka diduga telah emmpelajari cara bertani atau bercocok taman, cara berternak, cara menggunakankaleder, cara mengukur atau menimbang berat, cara memindahkan barang dengan kereta atau gerobak, cara membuat perahu, cara berburu, cara pengobatan tradisional, dan cara berhitung.

1. Bilangan Asli

            Sejak periode sejarah, diduga dimulai sekitar tahun 400 S.M., orang melalui memikirkan bilangan sebagai konsep abstrak. Misalnya, mereka menyebut tiga kerikil dan tiga binatang mempunyai sifat persekutuan, yaitu suatu kuantitas yang disebut tiga. Sifat persekutuan tiga ini bisa dimiliki oleh kelompok benda apa saja sehingga sifat ini menjadi terbatas dari obyek atau sasaran pembicaraan. Dalam istilah yang lebih sederhana, sifat-sifat persekutuan satuan (oneness), duaan (twoness), atau tigaan (threeness) merupakan sifat persekutuan yang dimiliki oleh sebarang kumpulan benda untuk menunjukkan kesamaan kuantitas.

Keperluan tentang kuantitas merupakan kebutuhan dasar manusia dalam kehidupan berkeluarga dan bermasyarakat, terutama untuk menghitung (mencacah) dan mem­ban­dingkan jumlah barang atau benda.

Ke­perluan menghitung (mencacah, counting) mendorong orang untuk mencari cara yang mudah, antara lain dengan membuat lambang bilangan (muneral) dan cara me­ng­gu­nakannya (sistem numerasi). Sistem numerasi membuat sekumpulan lambang dasar dan sejumlah atauran untuk menghasilkan lambang-lambang bilangan yang lain. Beberapa peradaban yang telah mengembangkan sistem numerasi antara lain adalah Mesir (sekitar tahun 3000 S.M.), Babylonia (sekitar tahun 2000 S.M.), Yunani atau Greek (sekitar tahun 600 S.M.), Mayan (sekitar tahun 300 S.M.), Jepang – China (sekitar tahun 200 S.M.), Romawi (sekitar tahun 100 M), dan Hindu-Arab (mulai sekitar tahun 300 S.M. di India, mengalami perubahan di wilayah timur tengah sekitar tahun 750 Masehi, berkembang di Eropa dan dipakai di seluruh dunia sampai sekarang). Dari uraian di atas kita dengan singkat telah melihat perjalanan pengembangan konsep bilangan sejak pertama kali pada zaman Poleolithic sampai pada zaman sejarah. Dengan demikian kita perlu membuat asumsi bahwa manusia telah menemukan konsep bilangan asli (counting/natural members) dan telah menemukan himpunan lambang untuk me­nya­takan konsep bilangan asli yaitu 1, 2, 3, 4, …

Untuk selanjutnya himpunan bilangan asli dinyatakan dengan

                        N = {1, 2, 3, 4, … }

1.  Bilangan Cacah

            Untuk kepentingan masyarakat zaman pertanian, sebelum zaman revolusi, mereka hanya memerlukan mencacah, menjumlah, dan mengalikan. Seiring dengan per­kem­bangan zaman, mesyarakat memerlukan sistem bilangan yang dapat memenuhi ke­per­lu­an lain, yaitu mengurangkan dan membagi. Dengan demikian mereka mem­pu­nyai tun­tutan pekerjaan yang tidak sekedar berhitung (aritmetika) tetapi hal lain yang lebih luas.

Jika sebelumnya mereka menerima pernyataan tanpa bukti (postulat):

            p + q  adalah suatu bilangan asli

            p x q  adalah suatu bilangan asli

maka kesulitan akan muncul ketika pengertian pengurangan mulai diperkenalkan melalui penjumlahan:

            p – q =  r  jika ada r sedemikian hingga p = q + r

Kita bisa melihat kesulitan itu. Pengurangan pada unsur-unsur hipunan bilangan asli dapat dilakukan hanya jika p lebih dari q, artinya himpunan bilangan asli tidak bersifat tertutup terhadap pengurangan. Pada awalnya tentu mereka memahami bahwa:

            3 – 2 =  1, 4 – 3 = 1, 5 – 4 =  1

dan mulai mempertanyakan bagaimana dengan

            3 – 3 = ? , 4 – 4 = ?,  5 – 5 = ?

Jawabannya adalah mereka perlu “tambahan” bilangan baru, yang kemudian disebut dengan nol (zero), yang diberi makna:

            3 = 3 + 0, 4 = 4 + 0, 5 = 5 + 0

Sekarang kita telah menambahkan unsur baru 0 ke dalam sistem bilangan asli, sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan cacah, dinyatakan dengan:

            W = {0, 1, 2, 3, 4, …}

3.  Bilangan Bulat

            Dengan berkembangnya masyarakat industri, manusia memerlukan bilangan untuk ke­perluan pembukuan tingkat lanjut, antara lain untuk menghitung hutang dan pihutang, serta tabungan dan pinjaman. Pertanyaan yang muncul serupa dengan permasalahan:

                        6 – 7 = ?,  8 – 10 = ?, 3 – 10 = ?

Permasalahan ini serupa dengan usaha menambah bilangan-bilangan baru di dalam W sehingga mereka dapat melakukan semua pengurangan, atau himpunan baru yang di­peroleh bersifat tertutup terhadap pengurangan.

Jawaban terhadap kesulitan mereka adalah tambahan bilangan-bilangan baru yang diperoleh dari:

                        0 – 1, 0 – 2, 0 – 3, 0 – 4, …

yang kemudian dilambangkan dengan:

                        -1, -2, -3, -4, …

sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan bulat, dan dinyatakan dengan:

                        Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Dengan  digunakannya garis bilangan untuk menyatakan representasi bilangan, dan mem­beri makna terhadap bilangan-bilangan di sebelah kanan nol sebagai bilangan po­sitif serta di sebelah kiri nol sebagai bilangan negatif, maka himpunan bilangan bulat da­pat dinyatakan sebagai:

                        Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

4.  Sistem Bilangan Bulat

            Untuk keperluan menghitung, orang dapat melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian bilangan. Apa yang dilakukan oleh orang itu kemudian di­se­but sebagai suatu operasi. Pada dasarnya suatu operasi adalah mengambil sepasang bi­lang­an untuk mendapatkan bilangan lain yang tunggal. Bilangan yang diperoleh mung­kin unsur atau bukan unsur dari himpunan tertentu.

Definisi 1.1

Suatu sistem matematika adalah suatu himpunan bersama-sama dengan satu atau lebih operasi pada himpunan itu.

Notasi

Suatu sistem matematika yang terdiri dari himpunan S dan operasi * ditunjukkan dengan (S, #)

Jika # adalah operasi kedua S, maka (S, *, #) adalah sistem matematika yang terdiri dari himpunan S, operasi pertama *, dan operasi kedua #.

Berdasarkan pengetahuan yang telah kita pelajari sebelumnya, beberapa definisi yang terkait dengan sifat operasi adalah:

Definisi 1.2

            Ditentukan bahwa * adalah suatu operasi pada himpunan S.

            Operasi * disebut bersifat:

            a.  tertutup jika p * q = r dan r E S untuk setiap p, q E S.

            b.  komutatif jika p * q = q * p untuk setiap p, q E S

            c.         assosiatif jika p * (q * r) = (p * q)*r untuk setiap p, q, c E S

            d.         mempunyai unsur identitas jika untuk semua p E S, ada i E S,

sehingga p * i  =  i * p = p . I disebut unsur identitas operasi *.

e.       memenuhi sifat inversi (invertibel) jika untuk semua p E S, ada x E S,

sehingga p * x = x * p = i.  x disebut inversi dari p, dan p disebut inversi  

dari x.

Definisi 1.3

Ditentukan bahwa * adalah suatu operasi pertama dan ⋕ adalah suatu operasi kedua pada himpunan S.

     Operasi * bersifat distributif terhadap # jika

                                    P * (q #r) = (p * q) # (p * r) untuk semua p, q, r E S.

Selanjutnya, sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat merupakan aksioma, yaitu:

1.         tertutup           :           p + q E Z         dan p x q E Z untuk semua p, q, E Z

2.         komutatif        :           p + q = q + p dan p x q = q x p untuk semua p, q E Z

3.         assosiatif         :           p + (q + r) = (p + q) + r dan p x (q x r) = (p x q) x r untuk

                                 semua p, q, r E Z

4.         mempunyai unsur identitas

                                    p + 0 = p dan p x 1 = p untuk semua p E Z

5.         memenuhi sifat identitas penjumlahan:

                                    untuk semua p E Z, ada 0 E Z sehingga p + 0 = 0 + p = p

                                    0 adalah unsur identitas penjumlahan

6.         memenuhi sifat inversi (invertibel) penjumlahan:

                                    untuk semua p E Z, ada x E Z sehingga p + x = x + p = 0

                                    x disebut inversi dari p, ditunjukkan dengan x = -p

7.         distributif perkalian terhadap penjumlahan

                                    (p + q) . r = p . r + q . r

8.         memenuhi hukum kanselasi:

                                    jika p, q, r E Z, r  0, dan pr = qr, maka p = q

Dalam kaitannya dengan urutan bilangan bulat, kita akan menggunakan himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, …}, untuk menyatakan hubungan lebih kecil (atau lebih besar) antara dua bilangan bulat.

Definisi 1.4

                 Ditentukan p, q, E Z

p disebut kurang dari q (atau q disebut lebih dari p), ditulis p < q   atau

q > p, jika ada suatu bilangan bulat positif r sehingga q – p = r

Contoh 1.1

(a).       5 > 4 sebab ada bilangan bulat positif 1 sehingga 5 – 4 = 1

(b).       2 < 7 sebab ada bilangan bulat positif 5 sehingga 7 – 2 = 5

(c). p > 0 untuk setiap p Î {1, 2, 3, …} sebab ada bilangan bulat positif p

sehingga p – 0 = p

Dua sifat dasar tentang urutan bilangan bulat yang perlu untuk dipahami adalah:

(1)  ketertutupan bilangan bulat positif:

 p + q dan pq adalah bilangan-bilangan bulat positif untuk semua bilangan-

 bilangan bulat positif p dan q

(2)        hukum trikotomi

            Untuk setiap p Î Z berlaku salah satu dari p > 0, p = 0, atau p < 0.

Himpunan bilangan bulat disebut suatu himpunan yang terurut karena Z     mempunyai suatu himpunan bagian yang tertutup terhadap penjumlahan dan   perkalian, serta memenuhi hukum trikotomi untuk setiap bilangan bulat

Contoh 1.2

Buktikan: Jika p < q dan r > 0, maka pr < qr

Bukti: 

Diketahui bahwa p < q, maka menurut definisi 1.4, q – p > 0. Selanjutnya, karena q – p > 0 dan r > 0, maka menurut sifat dasar ketertutupan perkalian urutan bilangan bulat positif, r (q – p) > 0. Menurut sifat distributif, r(q – p) = rq – rp, dengan demikian r(q – p) > 0 berakibat rq – rp > 0.

rq – rp > 0, menurut definisi 1.4, rp < rq, dan menurut sifat komutattif perkalian, pr < qr.

Contoh 1.3

Buktikan: (–1)p = –p

Bukti:             (–1)p + 1.p = (-1 + 1).p = 0, dan –p + p = -p + 1.p = 0, sehingga

                                    (-1)p + 1.p = -p + 1.p. Berdasarkan hukum kauselasi, (-1)p = -p

Contoh 1.4

Sistem (Z, Æ), yaitu sistem bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, merupakan suatu grup, dan juga merupakan grup Abel sebab operasi Æ terhadap bilangan bulat me­me­nuhi sifat-sifat terhadap assosiatif, mempunyai unsur identitas, dan memenuhi sifat in­versi.

Prinsip Urutan Yang Rapi (Well Ordering Principle)

       Suatu himpunan H disebut terurut rapi (well ordered) jika setiap himpunan

       bagian dari H yang tidak kosong mempunyai unsur terkecil      

Perlu diingat kembali bahwa k disebut unsur terkecil suatu himpunan S jika k kurang dari atau sama dengan x untuk setiap x S.

Contoh 1.5

(a) S = {2,5,7}  mempunyai  unsur  terkecil 2 sebab 2 ≤ x untuk setiap x S, yaitu

     2 ≤ 2, 2 ≤ 5, dan 2 ≤ 7

(b) M = {3} mempunyai unsur  terkecil 3 sebab  3 ≤ x  untuk  setiap  x M,  yaitu

      3 ≤ 3

Contoh 1.6

(a) S = {2,5,7} adalah himpunan yang terurut rapi sebab setiap himpunan bagian

     dari S yang tidak kosong, yaitu {2}, {5}, {7}, {2,5}, {2,7}, {5,7} dan {2,5,7}

     mempunyai unsur terkecil berturut-turut adalah 2,5,7,2,2,5, dan 2. 

(b) Z⁺ adalah himpunan yang terurut rapi sebab tidak ada himpunan bagian dari Z⁺

        yang tidak kosong dan tidak mempunyai unsur terkecil

(c) Z adalah himpunan yang tidak terurut rapi sebab ada  himpunan  bagian dari Z

     yang tidak kosong dan tidak mempunyai unsur terkecil, misalnya {0,-1,-2,…}

Definisi 1.5

       Bilangan riil terbesar [x] adalah bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama

       dengan x, yaitu [x] adalah bilangan bulat yang memenuhi [x] ≤ x ≤ [x] + 1

Sebagai catatan perlu diingat kembali bahwa Fungsi f(x) = [x] disebut dengan fungsi bilangan bulat terbesar, atau juga disebut dengan fungsi lantai (floor function). Fungsi g(x) =  disebut fungsi atap (ceiling function), dimana  adalah bilangan bulat terkecil lebih dari atau sama dengan x, misalnya  dan

Suatu bilangan riil x disebut rasional jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan bulat a dan b, b 0, dan x = a/b. Suatu bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional, misalnya log 5 , , bilangan e = 2,71828…, dan bilangan = 3,14…

Contoh 1.7

(a) [2/3] = 0 , [7/3] = 2 , dan [] = 3

(b) [ – 2/3] =  – 1 , [ –7/3] =  – 3

(c) [1,3] = 1, [] = 1

Tugas dan Latihan

Tugas

Untuk memperluas wawasan Anda tentang sistem numerasi, carilah dan bacalah sumber-sumber pustaka yang memuat sejarah bilangan. Selanjutnya jawablah beberapa pertanyaan berikut

1.         Apa maksudnya sistem numerasi bersifat aditif?

2.         Apa yang disebut dengan sistem numerasi menggunakan nilai tempat?

3.         Apa maksudnya sistem numerasi bersifat multiplikasi?

4.         Sebutkan beberapa cara menuliskan lambang bilangan dan terjadi pada sistem

 numerasi yang mana.

5.         Sebutkan basis-basis bilangan yang pernah digunakan.

2.         Latihan

Untuk memperdalam pemahaman Anda tentang materi bilangan bulat, kerjakanlah soal-soal latihan berikut:

1.         Tunjukkan bahwa –(p + q) = (– p) + (– q) untuk semua p, q Î Z

2.         Tunjukkan bahwa – (p.q) = p . (-q) untuk semua p, q Î Z

3.         Diketahui p, q, r Î Z, p < q, dan r < 0

            Buktikan: p + r < q + r

4.         Diketahui p, q, r Î q, p > q dan q > r

            Tunjukkan: p > r

5.         Diketahui C = {1, -1}

            Selidiki apakah (C, x) merupakan sistem grup:

Rambu-rambu Jawaban Tugas dan Latihan

Rambu-Rambu Jawaban Tugas

1.         Sistem numerasi disebut bersifat aditif jika nilai bilangan sama dengan jumlah  

      nilai setiap lambang bilangan yang digunakan.

     Contoh:

     Mesir Kuno:           Lambang    ೨ ೨ ೨ ೨  ⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ∣∣∣

                       

2. Sistem numerasi disebut menggunakan nilai tempat jika nilai lambang bilangan   

    didasarkan pada tempat atau posisi lambang bilangan, artinya lambang yang 

    sama bernilai berbeda karena posisinya berbeda.

    Contoh:

    Babylonia:   Lambang         :           r <  s

                              Nilai 71           :           (1 x 60) + 10 + 1

    Desimal       :           Lambang         :           5 5 5

                              Nilai setiap lambang 5 berbeda karena letaknya yang berbeda

                                          5 5 5

                                                                              bernilai lima

                                                                              bernilai lima puluh

                                                                              bernilai lima ratus

3. Sistem numerasi disebut multiplikatif jika mempunyai lambang untuk bilangan-

    bilangan 1, 2, 3, …, b – 1, b, b², b³, b³, …, tidak mempunyai lambang nol, dan    

    menggunakan nilai tempat.

    Contoh:

    Jepang-China          :           Lambang         :           ~          �             x                   y   Ђ  д  ŧ   )( Һ  ƒ 

                                     Nilai               :           1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000

4. Cara menuliskan lambang bilangan

            (a)        Acak, untuk sistem numerasi Mesir Kuno

            (b)       Mendatar (horizontal), untuk sistem-sistem numerasi

                        Babylonia, Yunani (greek), Romawi, Hindu-Arab

            (c)        Tegak (vertikal), untuk sistem-sistem numerasi Jepang-China dan  

               Mayan

5. Basis bilangan yang pernah digunakan

            (a)        Basis 10          :           sistem numerasi Jepang-China, Hindu Arab

            (b)       Basis 20          :           sistem numerasi Mayan

            (c)  Basis 60    :           sistem numerasi Babylonia

Rambu-Rambu Jawaban Latihan

1. –(p + q) = –1(p + q) = (p + q)(– 1) = p(–1) + q(– 1) = – 1p – 1q = (–1)p + (–1)q

2. p(–q) + pq = p(–q + q) = p.0 = 0 =  –(pq) + (pq), sesuai dengan sifat  kanse-

    lasi, p(–q) = –(pq)

3. (q + r) – (p + r) = q – p adalah positif sebab p < q . Jadi p + r < q + r

4. p > q dan q > r , maka p – q > 0 dan q – r > 0 , sehingga (p – q) + (q – r) > 0

    p – r = p + 0 – r = p + (–q + q) – r = (p – q) + (q – r) > 0, jadi p > r

5. Tabel perkalian dari unsur-unsur C adalah :

                  x         1       -1                 Dari   tabel  perkalian di samping  dapat

                  1         1       -1                 ditentukan  bahwa  operasi x bersifat ter-

                 -1        -1        1                 tutup, bersifat asosiatif (sebab C Z,

    mempunyai unsur identitas 1, dan memenuhi sifat inversi.

Rangkuman

Berdasarkan seluruh paparan pada Kegiatan Belajar 1 ini, maka garis besar bahan yang dibahas meliputi Definisi, Teorema, Contoh, dan Latihan tentang bilangan bulat, terutama tentang konsep bilangan bulat, sistem bilangan bulat, operasi bilangan bulat dan sifat-sifatnya, dan aksioma sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat. Paparan kemudian dilanjutkan dengan prinsip urutan yang rapi serta hubungan dua bilangan bulat (sama dengan, lebih dari, kurang dari), dilengkapi dengan pengertian bilangan bulat terbesar, fungsi lantai, dan fungsi atap. Pada bagian akhir diingatkan kembali pengertian bilangan rasional dan bilangan irasional.

1. Himpunan bilangan bulat dinyatakan dengan Z = { …,-2,-1,0,1,2,…}

2. Definisi 1.1

 Suatu sistem matematika adalah suatu himpunan bersama-sama dengan   

             satu atau lebih operasi pada himpunan itu.

3. Definisi 1.2

              Ditentukan bahwa * adalah suatu operasi pada himpunan S.

                   Operasi * disebut bersifat:

                   a.  tertutup jika p * q = r dan r Î S untuk setiap p, q Î S.

                   b.  komutatif jika p * q = q * p untuk setiap p, q Î S

                   c.  assosiatif jika p * (q * r) = (p * q)*r untuk setiap p, q, c Î S

                   d. mempunyai unsur identitas jika untuk semua p Î S, ada i Î S,

      sehingga p * i  =  i * p = p . I disebut unsur identitas operasi *.

4. Definisi 1.3

        Ditentukan bahwa * adalah suatu operasi pertama dan ⋕ adalah suatu

        operasi kedua pada himpunan S.

              Operasi * bersifat distributif terhadap # jika

                                    P * (q #r) = (p * q) # (p * r) untuk semua p, q, r Î S.   

4. Definisi 1.4

                 Ditentukan p, q, Î Z

   p disebut kurang dari q (atau q disebut lebih dari p), ditulis p < q   atau

   q > p, jika ada suatu bilangan bulat positif r sehingga q – p = r

5. Definisi 1.5

                 Bilangan riil terbesar [x] adalah bilangan bulat terbesar kurang dari atau

              sama  dengan x, yaitu [x] adalah bilangan bulat yang memenuhi

              [x] ≤ x ≤ [x] + 1

6. Prinsip Urutan Yang Rapi (Well Ordering Principle)

       Suatu himpunan H disebut terurut rapi (well ordered) jika setiap himpunan

       bagian dari H yang tidak kosong mempunyai unsur terkecil      

Tes Formatif 1

1. Skor 10

    Jika a,b,cZ, maka buktikan bahwa ac < bc

2. Skor 10

    Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat positif kurang dari 1

3. Skor 10

    Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut terurut rapi

    (a) A = {-2,3,4}

    (b) B = {2/3,2,}

    (c) Himpunan bilangan bulat negative

    (d) himpunan bilangan cacah

    (e) himpunan rasional

    (f) himpunan bilangan riil

4. Skor 10

    Carilah nilai-nilai dari :

    (a) [0,12]

    (b) [7/9]

    (c) [5]

    (d) [-1]

5. Skor 20

    Jika k adalah suatu bilangan bulat, maka buktikan bahwa :

    [x + k] = [x] + k untuk setiap bilangan riil x

6. Skor 10

    Carilah nilai [x] + [-x] jika x adalah suatu bilangan riil

7. Skor 20

    Buktikan bahwa [x] + [x + ] = [2x] jika x adalah suatu bilangan riil

8. Skor 10

    Buktikan bahwa  adalah suatu bilangan irasional.

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Rambu-Rambu Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian halaman akhir dari modul ini. Kemudian perkirakan skor jawaban yang Anda kerjakan benar, dan gunakan kriteria berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap pemahaman materi Kegiatan Belajar 1.

                                                    Skor jawaban yang benar

       Tingkat Penguasaan =  -------------------------------------  x  100 %

                                                                          100

Tingkat penguasaan Anda dikelompokkan menjadi :

       Baik sekali    :  90 % - 100 %

       Baik               :  80 % -  89 %

       Cukup           :  70 % -  79 %

       Kurang          :  <  70 %

Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % atau lebih, maka Anda dapat meneruskan ke Kegiatan Belajar 2. Prestasi Anda bagus sekali. Jika tingkat penguasaan Anda kurang dari 80% , maka sebaiknya Anda mengulangi materi Kegiatan Belajar 1 , terutama pada bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

MENINGKATKAN GAIRAH BELAJAR

MEMBUAT BELAJAR MATEMATIKA MENJADI BERGAIRAH

Peran Guru dalam Pembelajaran Matematika

Secara umum, tugas guru matematika di antaranya adalah: Pertama, bagaimana materi pelajaran itu diberikan kepada siswa sesuai dengan standar kurikulum. Kedua, bagaimana proses pembelajaran berlangsung dengan melibatkan peran siswa secara penuh dan aktif, dalam artian proses pembelajaran yang berlangsung dapat berjalan dengan menyenangkan. Merupakan tantangan bagi guru matematika untuk senantiasa berpikir dan bertindak kreatif di tengah kegelisahan dan keterpurukan nasib guru. Namun, penulis yakin masih banyak pendidik yang menanggapi ke”lesu”an hidup tersebut dengan sikap optimistik dan penuh tanggung jawab terhadap tugas dan kewajiban sebagai guru. Masalah pada tahap pertama, yakni menyampaikan materi sesuai dengan tuntutan standar kurikulum. Pembelajaran matematika, yang dirumuskan oleh National Council of Teachers of Matematics atau NCTM (2000) menggariskan, bahwa siswa harus mempelajari matematika melalui pemahaman dan aktif membangun pengetahuan baru dari pengalaman dan pengetahuan yang dimiliki sebelumnya. Untuk mewujudkan hal itu, sebagaimana dalam tulisan Yaniawati(2006) dirumuskan ada lima tujuan umum pembelajaran matematika, yaitu: pertama, belajar untuk berkomunikasi (mathematical communication); kedua, belajar untuk bernalar (mathematical reasoning); ketiga, belajar untuk memecahkan masalah(mathematical problem solving); keempat, belajar untuk mengaitkan ide (mathematical connections); dan kelima, pembentukan sikap positif terhadap matematika (positive attitudes toward mathematics). Semua itu lazim disebut mathematical power (daya matematika). Sedangkan masalah pada tahap kedua, menetapkan model pembelajaran yang efektif. Pada dasarnya atmosfer pembelajaran merupakan hasil sinergi dari tiga komponen pembelajaran utama, yakni siswa, kompetensi guru, dan fasilitas pembelajaran. Ketiga komponen tersebut pada akhirnya bermuara pada area proses dan model pembelajaran. Model pembelajaran yang efektif dalam pembelajaran matematika antara lain memiliki nilai relevansi dengan pencapaian daya matematika dan memberi peluang untuk bangkitnya kreativitas guru. Kemudian berpotensi mengembangkan suasana belajar mandiri selain dapat menarik perhatian siswa dansejauh mungkin memanfaatkan momentum kemajuan teknologi khususnya dengan mengoptimalkan fungsi teknologi informasi. Berorientasi pada Siswa Agar tujuan pembelajaran Matematika dapat tercapai maksimal, maka harus diupayakan agar semua siswa lebih mengerti dan memahami materi yang diajarkan daripada harus mengejar target kurikulum tanpa dibarengi pemahaman materi. Dalam prakteknya, pembelajaran berorientasi pada siswa ini dapat dilaksanakan dengan cara pendampingan siswa satu persatu atau per kelompok. Penjelasan materi dan contoh pengerjaan soal diberikan secara klasikal di depan kelas. Kemudian ketika siswa mengerjakan latihan soal guru (beserta asistennya) keliling untuk memperhatikan siswa secara personal. Tugas guru adalah membantu siswa agar dapat menyelesaikan tugasnya sampai benar. Siswa yang pandai akan mendapat perhatian yang kurang sementara siswa yang lemah akan mendapat perhatian yang lebih intensif. Hal yang paling esensial ketika mendampingi (terutama bagi yang berkemampuan rendah) adalah menumbuhkan keyakinan dalam diri siswa bahwa saya (baca: siswa) bisa dan mampu mengerjakan soal. I can do it. Guru harus berusaha menghilangkan persepsi dalam diri siswa bahwa matematika itu sulit dan mengusahakan agar siswa memiliki pengalaman bahwa belajar matematika itu mudah dan menyenangkan. Kiranya model pembelajaran ini dapat berjalan efektif jikalau kapasitas siswa setiap ruang adalah berkisar 15 – 20 siswa. Tetapi jika lebih, maka pembelajaran model yang demikian tetap dapat berlangsung namun harus dibantu oleh beberapa guru atau asisten. Belajar Matematika yang Menyenangkan Usaha selanjutnya adalah mengusahakan bagaimana agar suasana ruang kelas yang digunakan untuk belajar siswa adalah kondusif. Dengan kata lain tata letak perabot kelas tidak harus diatur secara “formal”. Sering kita jumpai, ada siswa yang malas belajar ketika harus duduk tenang dan serius. Mereka lebih senang dan nyaman ketika belajar sambil tidur-tiduran di atas karpet. Menyikapi hal ini guru sebaiknya memberi kebebasan kepada siswa untuk belajar atau mengerjakan soal latihan di atas bangku atau di lantai. Ada juga siswa yang dalam belajarnya harus mendengarkan musik. Memang, musik tidak berkaitan langsung dengan matematika. Musik bukan merupakan alat peraga dalam pembelajaran matematika. Namun musik memainkan peran dalam membantu untuk menciptakan kenyamanan belajar di kelas. Musik hanya merupakan pengiring ketika para siswa mengerjakan soal. Sehingga musik dapat membuat siswa lebih nyaman ketika belajar matematika. Namun, Kaseri, SMA Darul Ulum 2 Unggulan BPPT RSBI Jombang dalam hal ini etika dan menghargai teman lain juga perlu diperhatikan. Rasanya tidak mungkin jika dalam satu kelas tersebut lalu guru memberi kebebasan kepada siswa membawa tape, radio yang berukuran besar. Tapi, hal ini dapat dilakukan misalnya memberi izin kepada siswa untuk menggunakan walkman, atau lainnnya yang penting tidak mengganggu konsentrasi siswa lainnya. Selain tersebut, dijumpai juga siswa yang senang “ngemil” atau makan-makanan yang ringan seperti permen, kerupuk atau lainnya. Menyikapi siswa yang demikian tentunya guru juga tidak dapat melarang serta merta kepada siswa untuk makan di dalam kelas. Pada intinya, apapun yang dapat menjadikan siswa nyaman dan senang untuk belajar matematika sebaiknya oleh sang guru tidak dilarang secara keras. Berikan kebebasan bergerak dan befikir kepada siswa yang tentunya juga tetap dalam batas-batas kewajaran. Penutup Menyelenggarakan pembelajaran matematika secara nyaman dan dapat membuat siswa bergairah untuk mengikutinya merupakan hal yang sudah tidak dapat ditawar lagi untuk menuju bangsa yang berkemampuan unggul dalam Sumber Daya Manusia (SDM). Dengan mempraktekkan strategi pembelajaran di atas diharapkan “nyawa” matematika dapat terselamatkan. Dengan kata lain, siswa tidak lagi terjangkit penyakit fobia matematika. Dengan demikian siswa menjadi senang untuk belajar matematika yang tentunya akan berdampak pada penguasaan dan pemahaman terhadap materi matematik yang merupakan ilmu dasar untuk pengembangan sains dan teknologi.