Selasa, 09 November 2010

MODUL 1 Kegiatan Belajar 1


BILANGAN BULAT

Uraian
            Pembahasan tentang bilangan bulat (integers) tidak bisa dipisahkan dari uraian tantang bilangan asli (natural numbers) dan bilangan cacah (whole members) karena kreasi tentang bilangan-bilangan ini merupakan proses sosial dan budaya yang berlangsung berurutan dalam waktu ribuan tahun.
            Konsep tentang bilangan dan cara mencacah (menghitung, counting) berkembang selama sekitar 15.000 tahun, mulai dari zaman prasejarah (poleolithic, Old Stone Age) sampai dengan zaman sejarah (sekitar tahun 400 S.M.). Dalam periode atau zaman ini, mereka diduga telah emmpelajari cara bertani atau bercocok taman, cara berternak, cara menggunakankaleder, cara mengukur atau menimbang berat, cara memindahkan barang dengan kereta atau gerobak, cara membuat perahu, cara berburu, cara pengobatan tradisional, dan cara berhitung.

1. Bilangan Asli
            Sejak periode sejarah, diduga dimulai sekitar tahun 400 S.M., orang melalui memikirkan bilangan sebagai konsep abstrak. Misalnya, mereka menyebut tiga kerikil dan tiga binatang mempunyai sifat persekutuan, yaitu suatu kuantitas yang disebut tiga. Sifat persekutuan tiga ini bisa dimiliki oleh kelompok benda apa saja sehingga sifat ini menjadi terbatas dari obyek atau sasaran pembicaraan. Dalam istilah yang lebih sederhana, sifat-sifat persekutuan satuan (oneness), duaan (twoness), atau tigaan (threeness) merupakan sifat persekutuan yang dimiliki oleh sebarang kumpulan benda untuk menunjukkan kesamaan kuantitas.
Keperluan tentang kuantitas merupakan kebutuhan dasar manusia dalam kehidupan berkeluarga dan bermasyarakat, terutama untuk menghitung (mencacah) dan mem­ban­dingkan jumlah barang atau benda.
Ke­perluan menghitung (mencacah, counting) mendorong orang untuk mencari cara yang mudah, antara lain dengan membuat lambang bilangan (muneral) dan cara me­ng­gu­nakannya (sistem numerasi). Sistem numerasi membuat sekumpulan lambang dasar dan sejumlah atauran untuk menghasilkan lambang-lambang bilangan yang lain. Beberapa peradaban yang telah mengembangkan sistem numerasi antara lain adalah Mesir (sekitar tahun 3000 S.M.), Babylonia (sekitar tahun 2000 S.M.), Yunani atau Greek (sekitar tahun 600 S.M.), Mayan (sekitar tahun 300 S.M.), Jepang – China (sekitar tahun 200 S.M.), Romawi (sekitar tahun 100 M), dan Hindu-Arab (mulai sekitar tahun 300 S.M. di India, mengalami perubahan di wilayah timur tengah sekitar tahun 750 Masehi, berkembang di Eropa dan dipakai di seluruh dunia sampai sekarang). Dari uraian di atas kita dengan singkat telah melihat perjalanan pengembangan konsep bilangan sejak pertama kali pada zaman Poleolithic sampai pada zaman sejarah. Dengan demikian kita perlu membuat asumsi bahwa manusia telah menemukan konsep bilangan asli (counting/natural members) dan telah menemukan himpunan lambang untuk me­nya­takan konsep bilangan asli yaitu 1, 2, 3, 4, …
Untuk selanjutnya himpunan bilangan asli dinyatakan dengan
                        N = {1, 2, 3, 4, … }

1.  Bilangan Cacah
            Untuk kepentingan masyarakat zaman pertanian, sebelum zaman revolusi, mereka hanya memerlukan mencacah, menjumlah, dan mengalikan. Seiring dengan per­kem­bangan zaman, mesyarakat memerlukan sistem bilangan yang dapat memenuhi ke­per­lu­an lain, yaitu mengurangkan dan membagi. Dengan demikian mereka mem­pu­nyai tun­tutan pekerjaan yang tidak sekedar berhitung (aritmetika) tetapi hal lain yang lebih luas.
Jika sebelumnya mereka menerima pernyataan tanpa bukti (postulat):
            p + q  adalah suatu bilangan asli
            p x q  adalah suatu bilangan asli
maka kesulitan akan muncul ketika pengertian pengurangan mulai diperkenalkan melalui penjumlahan:
            p – q =  r  jika ada r sedemikian hingga p = q + r
Kita bisa melihat kesulitan itu. Pengurangan pada unsur-unsur hipunan bilangan asli dapat dilakukan hanya jika p lebih dari q, artinya himpunan bilangan asli tidak bersifat tertutup terhadap pengurangan. Pada awalnya tentu mereka memahami bahwa:
            3 – 2 =  1, 4 – 3 = 1, 5 – 4 =  1
dan mulai mempertanyakan bagaimana dengan
            3 – 3 = ? , 4 – 4 = ?,  5 – 5 = ?
Jawabannya adalah mereka perlu “tambahan” bilangan baru, yang kemudian disebut dengan nol (zero), yang diberi makna:
            3 = 3 + 0, 4 = 4 + 0, 5 = 5 + 0
Sekarang kita telah menambahkan unsur baru 0 ke dalam sistem bilangan asli, sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan cacah, dinyatakan dengan:
            W = {0, 1, 2, 3, 4, …}

3.  Bilangan Bulat
            Dengan berkembangnya masyarakat industri, manusia memerlukan bilangan untuk ke­perluan pembukuan tingkat lanjut, antara lain untuk menghitung hutang dan pihutang, serta tabungan dan pinjaman. Pertanyaan yang muncul serupa dengan permasalahan:
                        6 – 7 = ?,  8 – 10 = ?, 3 – 10 = ?
Permasalahan ini serupa dengan usaha menambah bilangan-bilangan baru di dalam W sehingga mereka dapat melakukan semua pengurangan, atau himpunan baru yang di­peroleh bersifat tertutup terhadap pengurangan.
Jawaban terhadap kesulitan mereka adalah tambahan bilangan-bilangan baru yang diperoleh dari:
                        0 – 1, 0 – 2, 0 – 3, 0 – 4, …
yang kemudian dilambangkan dengan:
                        -1, -2, -3, -4, …
sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan bulat, dan dinyatakan dengan:
                        Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Dengan  digunakannya garis bilangan untuk menyatakan representasi bilangan, dan mem­beri makna terhadap bilangan-bilangan di sebelah kanan nol sebagai bilangan po­sitif serta di sebelah kiri nol sebagai bilangan negatif, maka himpunan bilangan bulat da­pat dinyatakan sebagai:
                        Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

4.  Sistem Bilangan Bulat
            Untuk keperluan menghitung, orang dapat melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian bilangan. Apa yang dilakukan oleh orang itu kemudian di­se­but sebagai suatu operasi. Pada dasarnya suatu operasi adalah mengambil sepasang bi­lang­an untuk mendapatkan bilangan lain yang tunggal. Bilangan yang diperoleh mung­kin unsur atau bukan unsur dari himpunan tertentu.
Definisi 1.1
Suatu sistem matematika adalah suatu himpunan bersama-sama dengan satu atau lebih operasi pada himpunan itu.
Notasi
Suatu sistem matematika yang terdiri dari himpunan S dan operasi * ditunjukkan dengan (S, #)
Jika # adalah operasi kedua S, maka (S, *, #) adalah sistem matematika yang terdiri dari himpunan S, operasi pertama *, dan operasi kedua #.

Berdasarkan pengetahuan yang telah kita pelajari sebelumnya, beberapa definisi yang terkait dengan sifat operasi adalah:
Definisi 1.2
            Ditentukan bahwa * adalah suatu operasi pada himpunan S.
            Operasi * disebut bersifat:
            a.  tertutup jika p * q = r dan r E S untuk setiap p, q E S.
            b.  komutatif jika p * q = q * p untuk setiap p, q E S
            c.         assosiatif jika p * (q * r) = (p * q)*r untuk setiap p, q, c E S
            d.         mempunyai unsur identitas jika untuk semua p E S, ada i E S,
sehingga p * i  =  i * p = p . I disebut unsur identitas operasi *.
e.       memenuhi sifat inversi (invertibel) jika untuk semua p E S, ada x E S,
sehingga p * x = x * p = i.  x disebut inversi dari p, dan p disebut inversi  
dari x.
Definisi 1.3
Ditentukan bahwa * adalah suatu operasi pertama dan adalah suatu operasi kedua pada himpunan S.
     Operasi * bersifat distributif terhadap # jika
                                    P * (q #r) = (p * q) # (p * r) untuk semua p, q, r E S.

Selanjutnya, sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat merupakan aksioma, yaitu:
1.         tertutup           :           p + q E Z         dan p x q E Z untuk semua p, q, E Z
2.         komutatif        :           p + q = q + p dan p x q = q x p untuk semua p, q E Z
3.         assosiatif         :           p + (q + r) = (p + q) + r dan p x (q x r) = (p x q) x r untuk
                                 semua p, q, r E Z
4.         mempunyai unsur identitas
                                    p + 0 = p dan p x 1 = p untuk semua p E Z
5.         memenuhi sifat identitas penjumlahan:
                                    untuk semua p E Z, ada 0 E Z sehingga p + 0 = 0 + p = p
                                    0 adalah unsur identitas penjumlahan
6.         memenuhi sifat inversi (invertibel) penjumlahan:
                                    untuk semua p E Z, ada x E Z sehingga p + x = x + p = 0
                                    x disebut inversi dari p, ditunjukkan dengan x = -p
7.         distributif perkalian terhadap penjumlahan
                                    (p + q) . r = p . r + q . r
8.         memenuhi hukum kanselasi:
                                    jika p, q, r E Z, r  0, dan pr = qr, maka p = q

Dalam kaitannya dengan urutan bilangan bulat, kita akan menggunakan himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, …}, untuk menyatakan hubungan lebih kecil (atau lebih besar) antara dua bilangan bulat.
Definisi 1.4
                 Ditentukan p, q, E Z
p disebut kurang dari q (atau q disebut lebih dari p), ditulis p < q   atau
q > p, jika ada suatu bilangan bulat positif r sehingga q – p = r

Contoh 1.1
(a).       5 > 4 sebab ada bilangan bulat positif 1 sehingga 5 – 4 = 1
(b).       2 < 7 sebab ada bilangan bulat positif 5 sehingga 7 – 2 = 5
(c). p > 0 untuk setiap p Î {1, 2, 3, …} sebab ada bilangan bulat positif p
sehingga p – 0 = p

Dua sifat dasar tentang urutan bilangan bulat yang perlu untuk dipahami adalah:
(1)  ketertutupan bilangan bulat positif:
 p + q dan pq adalah bilangan-bilangan bulat positif untuk semua bilangan-
 bilangan bulat positif p dan q
(2)        hukum trikotomi
            Untuk setiap p Î Z berlaku salah satu dari p > 0, p = 0, atau p < 0.
Himpunan bilangan bulat disebut suatu himpunan yang terurut karena Z     mempunyai suatu himpunan bagian yang tertutup terhadap penjumlahan dan   perkalian, serta memenuhi hukum trikotomi untuk setiap bilangan bulat

Contoh 1.2
Buktikan: Jika p < q dan r > 0, maka pr < qr
Bukti: 
Diketahui bahwa p < q, maka menurut definisi 1.4, q – p > 0. Selanjutnya, karena q – p > 0 dan r > 0, maka menurut sifat dasar ketertutupan perkalian urutan bilangan bulat positif, r (q – p) > 0. Menurut sifat distributif, r(q – p) = rq – rp, dengan demikian r(q – p) > 0 berakibat rq – rp > 0.
rq – rp > 0, menurut definisi 1.4, rp < rq, dan menurut sifat komutattif perkalian, pr < qr.

Contoh 1.3
Buktikan: (–1)p = –p
Bukti:             (–1)p + 1.p = (-1 + 1).p = 0, dan –p + p = -p + 1.p = 0, sehingga
                                    (-1)p + 1.p = -p + 1.p. Berdasarkan hukum kauselasi, (-1)p = -p

Contoh 1.4
Sistem (Z, Æ), yaitu sistem bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, merupakan suatu grup, dan juga merupakan grup Abel sebab operasi Æ terhadap bilangan bulat me­me­nuhi sifat-sifat terhadap assosiatif, mempunyai unsur identitas, dan memenuhi sifat in­versi.

Prinsip Urutan Yang Rapi (Well Ordering Principle)
       Suatu himpunan H disebut terurut rapi (well ordered) jika setiap himpunan
       bagian dari H yang tidak kosong mempunyai unsur terkecil      

Perlu diingat kembali bahwa k disebut unsur terkecil suatu himpunan S jika k kurang dari atau sama dengan x untuk setiap x S.

Contoh 1.5
(a) S = {2,5,7}  mempunyai  unsur  terkecil 2 sebab 2 ≤ x untuk setiap x S, yaitu
     2 ≤ 2, 2 ≤ 5, dan 2 ≤ 7
(b) M = {3} mempunyai unsur  terkecil 3 sebab  3 ≤ x  untuk  setiap  x M,  yaitu
      3 ≤ 3

Contoh 1.6
(a) S = {2,5,7} adalah himpunan yang terurut rapi sebab setiap himpunan bagian
     dari S yang tidak kosong, yaitu {2}, {5}, {7}, {2,5}, {2,7}, {5,7} dan {2,5,7}
     mempunyai unsur terkecil berturut-turut adalah 2,5,7,2,2,5, dan 2. 
(b) Z+ adalah himpunan yang terurut rapi sebab tidak ada himpunan bagian dari Z+
        yang tidak kosong dan tidak mempunyai unsur terkecil
(c) Z adalah himpunan yang tidak terurut rapi sebab ada  himpunan  bagian dari Z
     yang tidak kosong dan tidak mempunyai unsur terkecil, misalnya {0,-1,-2,…}
Definisi 1.5
       Bilangan riil terbesar [x] adalah bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama
       dengan x, yaitu [x] adalah bilangan bulat yang memenuhi [x] ≤ x ≤ [x] + 1

Sebagai catatan perlu diingat kembali bahwa Fungsi f(x) = [x] disebut dengan fungsi bilangan bulat terbesar, atau juga disebut dengan fungsi lantai (floor function). Fungsi g(x) =  disebut fungsi atap (ceiling function), dimana  adalah bilangan bulat terkecil lebih dari atau sama dengan x, misalnya  dan
Suatu bilangan riil x disebut rasional jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan bulat a dan b, b 0, dan x = a/b. Suatu bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional, misalnya log 5 , , bilangan e = 2,71828…, dan bilangan = 3,14…

Contoh 1.7
(a) [2/3] = 0 , [7/3] = 2 , dan [] = 3
(b) [ – 2/3] =  – 1 , [ –7/3] =  – 3
(c) [1,3] = 1, [] = 1

Tugas dan Latihan
Tugas
Untuk memperluas wawasan Anda tentang sistem numerasi, carilah dan bacalah sumber-sumber pustaka yang memuat sejarah bilangan. Selanjutnya jawablah beberapa pertanyaan berikut
1.         Apa maksudnya sistem numerasi bersifat aditif?
2.         Apa yang disebut dengan sistem numerasi menggunakan nilai tempat?
3.         Apa maksudnya sistem numerasi bersifat multiplikasi?
4.         Sebutkan beberapa cara menuliskan lambang bilangan dan terjadi pada sistem
 numerasi yang mana.
5.         Sebutkan basis-basis bilangan yang pernah digunakan.

2.         Latihan
Untuk memperdalam pemahaman Anda tentang materi bilangan bulat, kerjakanlah soal-soal latihan berikut:
1.         Tunjukkan bahwa –(p + q) = (– p) + (– q) untuk semua p, q Î Z
2.         Tunjukkan bahwa – (p.q) = p . (-q) untuk semua p, q Î Z
3.         Diketahui p, q, r Î Z, p < q, dan r < 0
            Buktikan: p + r < q + r
4.         Diketahui p, q, r Î q, p > q dan q > r
            Tunjukkan: p > r
5.         Diketahui C = {1, -1}
            Selidiki apakah (C, x) merupakan sistem grup:

Rambu-rambu Jawaban Tugas dan Latihan
Rambu-Rambu Jawaban Tugas
1.         Sistem numerasi disebut bersifat aditif jika nilai bilangan sama dengan jumlah  
      nilai setiap lambang bilangan yang digunakan.

     Contoh:
     Mesir Kuno:           Lambang    ೨ ೨ ೨ ೨  ∣∣∣
                       
2. Sistem numerasi disebut menggunakan nilai tempat jika nilai lambang bilangan   
    didasarkan pada tempat atau posisi lambang bilangan, artinya lambang yang 
    sama bernilai berbeda karena posisinya berbeda.
    Contoh:
    Babylonia:   Lambang         :           r <  s
                              Nilai 71           :           (1 x 60) + 10 + 1
    Desimal       :           Lambang         :           5 5 5
                              Nilai setiap lambang 5 berbeda karena letaknya yang berbeda
                                          5 5 5
                                                                              bernilai lima
                                                                              bernilai lima puluh
                                                                              bernilai lima ratus
3. Sistem numerasi disebut multiplikatif jika mempunyai lambang untuk bilangan-
    bilangan 1, 2, 3, …, b – 1, b, b2, b3, b3, …, tidak mempunyai lambang nol, dan    
    menggunakan nilai tempat.
    Contoh:
    Jepang-China          :           Lambang         :           ~                       x                   y   Ђ  д  ŧ   )( Һ  ƒ 
                                     Nilai               :           1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000
4. Cara menuliskan lambang bilangan
            (a)        Acak, untuk sistem numerasi Mesir Kuno
            (b)       Mendatar (horizontal), untuk sistem-sistem numerasi
                        Babylonia, Yunani (greek), Romawi, Hindu-Arab
            (c)        Tegak (vertikal), untuk sistem-sistem numerasi Jepang-China dan  
               Mayan
5. Basis bilangan yang pernah digunakan
            (a)        Basis 10          :           sistem numerasi Jepang-China, Hindu Arab
            (b)       Basis 20          :           sistem numerasi Mayan
            (c)  Basis 60    :           sistem numerasi Babylonia

Rambu-Rambu Jawaban Latihan
1. –(p + q) = –1(p + q) = (p + q)(– 1) = p(–1) + q(– 1) = – 1p – 1q = (–1)p + (–1)q
2. p(–q) + pq = p(–q + q) = p.0 = 0 =  –(pq) + (pq), sesuai dengan sifat  kanse-
    lasi, p(–q) = –(pq)
3. (q + r) – (p + r) = q – p adalah positif sebab p < q . Jadi p + r < q + r
4. p > q dan q > r , maka p – q > 0 dan q – r > 0 , sehingga (p – q) + (q – r) > 0
    p – r = p + 0 – r = p + (–q + q) – r = (p – q) + (q – r) > 0, jadi p > r
5. Tabel perkalian dari unsur-unsur C adalah :
                  x         1       -1                 Dari   tabel  perkalian di samping  dapat
                  1         1       -1                 ditentukan  bahwa  operasi x bersifat ter-
                 -1        -1        1                 tutup, bersifat asosiatif (sebab C Z,
    mempunyai unsur identitas 1, dan memenuhi sifat inversi.
Rangkuman
Berdasarkan seluruh paparan pada Kegiatan Belajar 1 ini, maka garis besar bahan yang dibahas meliputi Definisi, Teorema, Contoh, dan Latihan tentang bilangan bulat, terutama tentang konsep bilangan bulat, sistem bilangan bulat, operasi bilangan bulat dan sifat-sifatnya, dan aksioma sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat. Paparan kemudian dilanjutkan dengan prinsip urutan yang rapi serta hubungan dua bilangan bulat (sama dengan, lebih dari, kurang dari), dilengkapi dengan pengertian bilangan bulat terbesar, fungsi lantai, dan fungsi atap. Pada bagian akhir diingatkan kembali pengertian bilangan rasional dan bilangan irasional.


1. Himpunan bilangan bulat dinyatakan dengan Z = { …,-2,-1,0,1,2,…}
2. Definisi 1.1
 Suatu sistem matematika adalah suatu himpunan bersama-sama dengan   
             satu atau lebih operasi pada himpunan itu.
3. Definisi 1.2
              Ditentukan bahwa * adalah suatu operasi pada himpunan S.
                   Operasi * disebut bersifat:
                   a.  tertutup jika p * q = r dan r Î S untuk setiap p, q Î S.
                   b.  komutatif jika p * q = q * p untuk setiap p, q Î S
                   c.  assosiatif jika p * (q * r) = (p * q)*r untuk setiap p, q, c Î S
                   d. mempunyai unsur identitas jika untuk semua p Î S, ada i Î S,
      sehingga p * i  =  i * p = p . I disebut unsur identitas operasi *.
4. Definisi 1.3
        Ditentukan bahwa * adalah suatu operasi pertama dan adalah suatu
        operasi kedua pada himpunan S.
              Operasi * bersifat distributif terhadap # jika
                                    P * (q #r) = (p * q) # (p * r) untuk semua p, q, r Î S.   
4. Definisi 1.4
                 Ditentukan p, q, Î Z
   p disebut kurang dari q (atau q disebut lebih dari p), ditulis p < q   atau
   q > p, jika ada suatu bilangan bulat positif r sehingga q – p = r
5. Definisi 1.5
                 Bilangan riil terbesar [x] adalah bilangan bulat terbesar kurang dari atau
              sama  dengan x, yaitu [x] adalah bilangan bulat yang memenuhi
              [x] ≤ x ≤ [x] + 1
6. Prinsip Urutan Yang Rapi (Well Ordering Principle)
       Suatu himpunan H disebut terurut rapi (well ordered) jika setiap himpunan
       bagian dari H yang tidak kosong mempunyai unsur terkecil      

Tes Formatif 1
1. Skor 10
    Jika a,b,cZ, maka buktikan bahwa ac < bc
2. Skor 10
    Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat positif kurang dari 1
3. Skor 10
    Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut terurut rapi
    (a) A = {-2,3,4}
    (b) B = {2/3,2,}
    (c) Himpunan bilangan bulat negative
    (d) himpunan bilangan cacah
    (e) himpunan rasional
    (f) himpunan bilangan riil
4. Skor 10
    Carilah nilai-nilai dari :
    (a) [0,12]
    (b) [7/9]
    (c) [5]
    (d) [-1]
5. Skor 20
    Jika k adalah suatu bilangan bulat, maka buktikan bahwa :
    [x + k] = [x] + k untuk setiap bilangan riil x
6. Skor 10
    Carilah nilai [x] + [-x] jika x adalah suatu bilangan riil
7. Skor 20
    Buktikan bahwa [x] + [x + ] = [2x] jika x adalah suatu bilangan riil
8. Skor 10
    Buktikan bahwa  adalah suatu bilangan irasional.

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Rambu-Rambu Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian halaman akhir dari modul ini. Kemudian perkirakan skor jawaban yang Anda kerjakan benar, dan gunakan kriteria berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap pemahaman materi Kegiatan Belajar 1.
                                                    Skor jawaban yang benar
       Tingkat Penguasaan =  -------------------------------------  x  100 %
                                                                          100
Tingkat penguasaan Anda dikelompokkan menjadi :
       Baik sekali    :  90 % - 100 %
       Baik               :  80 % -  89 %
       Cukup           :  70 % -  79 %
       Kurang          :  <  70 %
Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % atau lebih, maka Anda dapat meneruskan ke Kegiatan Belajar 2. Prestasi Anda bagus sekali. Jika tingkat penguasaan Anda kurang dari 80% , maka sebaiknya Anda mengulangi materi Kegiatan Belajar 1 , terutama pada bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.